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趣味数学之形形色色的进位制

来源:温州奥数网整理 2012-02-25 16:14:00

  十进位制记数法,是大所熟悉的应用最多的一种记数法。

  在我国周代《易经》一书中,就有“万有一千五百二十”的记载,说明早在二千年前我国就有了十进制。公元六世纪,甄鸾在注汉末徐岳所著的《数术拾遗》的书中,就有“万万为亿,万万亿为兆,万万兆为京”的说法。

  我们知道,光在真空里的传播速度为每秒钟三十万公里。三十万也就是300000,可写成3×10^5(此为网络记法,表示3乘以10的5次方)。10的右上方的数字5,表示在3的后面有5个0。这种记数方法叫做科学记数法。

  有人可能会说,3×10^5比300000简单不到哪儿。别忙,请再看一例:

  据有的资料记载,目前已知的宇宙(指用最大的天文望远镜所能探测的那部分宇宙)中,所有的原子的个数是300×000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000个。你能用科学记数法把这个数记下来吗?

  对了,就是3×10^74。这一下可简单多了!

  在历史上,世界上各个民族普遍使用的都是十进制。为什么会这样呢?根据语言学家对世界上各进化民族和多数原始民族语言的研究得出的结论,这是由于人类的手有十个指头的缘故。十指可以自由伸缩,是一个天然的记数工具。人们在用手指计数的过程中,十进制便自然而然地产生了。

  在十进制中,所用的数码字是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,这十个数字叫做十进制的基数。实际上,除1以外的自然数都可以作为进位制的基数。例如,二进位制,三进位制,五进位制,七进位制,八进位制,十一进位制,十二进位制,二十进位制和六十进位制等。

  英语单词中,从一到十九的数字是

  one,two,three,four,five,six,seven,eight,nine,ten,eleven,tweleve,thirteen,fourteen,fifteen,sixteen,seventeen,eighteen,nineteen。

  这里面从一到十二,这十二个单词是独立的,十三以后才有统一的构成法——都有后缀teen。由此可以明显地看出十二进位制的痕迹。

  实际上,在某些情形下,十二进位制今天还在使用。例如,一打铅笔是指十二支铅笔,一年有十二个月,一天的二十四个小时(钟的表面仍只有一到十二)。

  北美的印地安人、中美、南美的少数民族、西伯利亚的北部民族及非洲人等,古时候常用五进位制和二十进位制。

  巴比伦人最初使用的是六十进位制。现在,世界各地仍使用着六十进位制,如一小时等于六十分,一分等于六十秒,圆周角的度数是三百六十度(六个六十度),一度等于六十分。

  下面我们把前十个自然数,在几种进位制下的写法作一个对照自然数

  一 二 三 四 五 六 七 八 九十十进制 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 八进制 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 二进制 1 10 11 100 101 110 111 10001001 1010

  几种不同进位制放在一起,怎么样加以区别呢?办法是在P进位制的右下方写上(P)。

  在十进制的加减法中,“逢十进一,退一当十”是大家滚瓜烂熟的。在P进位制中,则是“逢P进一,退一当P”。(以下的算式这里不便打出来,从略。)

  在通常情况下,人们多采用十进位制记数法。但在一些特殊的情况下,采用其它的进位制可能更为方便。

  电子计算机的计算和记忆元件只有两种状态:“开”和“关”,这可以用两个符号“0”和“1”表示。因此在电子计算机上使用的是二进位制记数法。

  事物总是具有两重性的。二进制适用于电子元件的两种状态,这是二进制的优点。但二进制也有它们缺点,那就是书写起来并不方便。特别是一个较大的数,用二进制表示起来很长,容易出错。为了解决这个问题,在编制计算机程序时,往往采用八进制或十六进制作为过度,把十进制数转换成二进制数,或者反过来把二进制数转换为十进制数。

  怎么样把十进制数化为二进制数呢?有两种方法,一种是直接把十进制数化为二进制数,另一种是先把十进制数化为八进制数,再化为二进制数。

  先讲第一种方法。例如把十进制数568化为二进制数。可写出如下带余数除法模式:(以下的算式这里不便于打出来,从略。)

  再讲第二种方法:第一步,把十进制数化为八进制数,同样按上面的方式逐次除以8就可以了。

  怎样把一个八进制数化为二进制数呢?很简单,把八进制数的数码写成三位二进制数,依次排写起来,就得到相应的二进制数了。为此,我们要熟悉如下的二——八对照表八进制数0 1 2 3 4 5 6 7 二进制数000 001 010 011 100 101 110 111

  例如,把八进制数1070(它是十进制数520)化为二进制数时,参照以上二——八对照表,有 1 0 7 0 001000 111 000

  由此可知,八进制数1070化为二进制数就是001000111000。

  反过来,怎么样把P进制数化为十进制数呢?只要把P进制数的n位上的数字乘以P^(n-1),然后求它们的和就行了。

 

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