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希望杯考点讲解:不定方程的四原则

来源:温州奥数网整理 2011-07-26 23:26:54

    引言:所谓不定方程,就是未知数的个数多于方程的个数,一般我们在求解的时候主要是讨论未知数的取值可能性,但是在讨论是我们可以根据题目给出的条件提高解题速度,下面是笔者总结的几个原则:

  现商店有7分,4分铅笔,现花6角钱各买若干只,问两种铅笔各买几只?

  根据题意,我们很容易得出7x+4y=60,这样我们来讨论解法:

  [原则一]:系数大的开始讨论

  很容易发现:如果讨论x,我们只要讨论从1~8总共8种可能取值;

  如果讨论y,我们要讨论从1~14总共14种可能取值,所以我们选择未知数前面系数大的开始讨论。

  [原则二]:奇偶性讨论

  很容易发现:60是个偶数,4y也是个偶数,这样我们就要求7x也必须是个偶数,所以x只能取偶数,这样我们只要讨论x取2、4、6、8四种取值。

  [原则三]:倍数原理

  我们容易发现,方程中有三个常数60、4、7,这样我们发现60是4的倍数,4y是4的倍数,这样7x=60-4y=4(15-y)肯定也是4的倍数,所以x也只能是4的倍数,所以x只能取4、8。

  [原则四]:尾数原理(运用条件:出现5的倍数)

  下面我们再来看:9x+5y=73

  5y的尾数只有0、5,

  如果5y尾数为0,那么9x的尾数只能是3,所以x=7,

  如果5y尾数为5,那么9x的尾数只能是8,所以x=2。

  从上面我们可以发现方法得当可以大大减少计算时间,建议学生多练习。

  附:

  1、圆珠笔每支5角,彩色日记本每本8角现在有6元3角钱.问圆珠笔和彩色日记本各买多少,才使钱正好用光?

  答案:圆珠笔11支,笔记本1本。

  2、六年级某班同学48人到公园里去划船,如果每只小船可坐3人,每只大船可坐5人,那么需要小船和大船各几只?(大船小船都有)

  答案:小船x大船y列方程:3x+5y=48x,y都是正整数

  解得:x=1,y=9

  x=6,y=6

  x=11,y=3

  3、装水瓶的盒子有大小两种,大的能装7个,小的能装4个,要把41个水瓶装入盒内.问需大、小盒子个多少个?

  答案:设大的x个,小的y个,有:7x+4y=41

  根据奇偶关系知道:x只能取奇数

  x=1,y=8.5舍去

  x=3,y=5满足

  x=5,y=1.5舍去