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希望杯考点讲解:中倍差问题的三种变形

来源:温州奥数网整理 2011-07-26 23:25:42

   在第四届小学“希望杯”全国数学邀请赛中,有这样一道题:为了过冬,小白兔和小黑兔都储藏了一些胡萝卜。已知小白兔储藏的胡萝卜数量是小黑兔储藏数量的3 倍。它们各吃了5个胡萝卜后,小白兔剩下的胡萝卜数量是小黑兔剩下数量的4倍。那么它们剩下的胡萝卜共有          个。

  同学们在遇到这道题的时候,似乎无从下手,但这实际上考察的是我们所学过的一个专题――差倍问题。下面我们来把这道题变一下,看看这与我们差倍问题的基本题型有哪些一致的地方,这道题我们应如何来解决。

  变①:为了过冬,小白兔和小黑兔都储藏了相同数量的胡萝卜,小白兔吃了7个胡萝卜,小黑兔吃了13个胡萝卜后,小白兔剩下的胡萝卜的个数是小黑兔的3倍,求小白兔和小黑兔原来储藏胡萝卜多少个?

  分析:用线段图表示题目里的已知条件和所求问题。
 

  从图上可以看出:小白兔比小黑兔少吃了13-7=6(个)胡萝卜,也就是小白兔比小黑兔多剩了6个胡萝卜。我们把小黑兔胜的胡萝卜看成一份,则小白兔剩下的胡萝卜是小黑兔的3倍,小白兔比小黑兔就多了3-1=2(份),把6个胡萝卜平均分成2份,每份就是小黑兔剩下的胡萝卜的个数,加上小黑兔吃掉的胡萝卜的个数,就是小黑兔原来有的胡萝卜的个数。

  解:(13-7)÷(3-1)+13=16(个)

  或者(13-7)÷(3-1)×3+7=16(个)

  答:小白兔和小黑兔原来储藏胡萝卜16个。

  小注:这个变形是我们接触过的差倍问题的第一种变形,最开始两个数量是相同的,但经过变化后就出现了一定的倍数关系,通过分析找出数量差,从而求解。

  变②:为了过冬,小白兔和小黑兔都储藏了一些胡萝卜。已知小白兔储藏的胡萝卜数量是小黑兔储藏数量的3倍。小白兔吃了13个胡萝卜,小黑兔吃了3个胡萝卜后,小白兔与小黑兔所剩的胡萝卜的个数相同。求小白兔和小黑兔原来储藏胡萝卜多少个?

  分析:用线段图表示题目里的已知条件和所求问题。

  从图上可以看出,小白兔吃了13胡萝卜,小黑兔吃了3个胡萝卜后,小黑兔与小白兔所剩胡萝卜的个数一样多,也就是说原来小白兔比小黑兔多 13-3=10(个)胡萝卜,正好是小黑兔储藏胡萝卜的(3-1)倍,把10个胡萝卜平均分成2份,每份就是小黑兔储藏胡萝卜的个数,然后可以求出小白兔储藏胡萝卜的个数。

  解:(13-3)÷(3-1)=5(个)••••••小黑兔

  5×3=15(个)••••••小白兔

  答:小黑兔原来储藏胡萝卜5个,小白兔原来储藏胡萝卜15个。

  小注:与变①相比,这是差倍问题的另一种变形,知道了开始两个数量之间的倍数关系,但经过变化之后,两个数量相等,由此我们找到数量差,从而求解。

  接下来,我们来看最开始的这道竞赛题。我们可以看到这两个数量在最开始和变化后都没有相等,而是成一定的倍数关系,但我们会发现倍数发生了变化,由3倍变成了4倍,那么这道题如何解答呢?请你先回答下面的问题!

  分析:问题1:在小黑兔吃了5个胡萝卜后,为使小白兔所剩胡萝卜的个数还是小黑兔的3倍,小白兔应该吃掉几个胡萝卜?

    聪明的你一定很快答出来了是15个。

  问题2:小黑兔吃了5个胡萝卜,小白兔吃了15个后,倍数关系没有发生变化;

  小黑兔吃了5个胡萝卜,小白兔也吃了5个后,倍数关系变成了4倍,你发现了什么?

  看下面的线段图:

  (我们把小白兔吃了15个胡萝卜记为情况1,小白兔吃了5个胡萝卜记为情况2。)

  通过线段图,你们是不是已经清楚地看到,情况1与情况2中的红线部分是一样长的,可见小白兔在情况2中比在情况1中少吃了3×5-5=10(个)胡萝卜,使得在情况2中比在情况1中所剩的胡萝卜的个数多了4-3=1(倍),也即小黑兔现在剩下的胡萝卜的个数为10个,从而我们就可以求出原来小白兔和小黑兔各储藏了多少个胡萝卜。

  解:(3×5-5)÷(4-3)=10(个)......少吃的
  10+5=15(个) ......小黑兔
  15×3=45(个)......小白兔
  答:小黑兔原来储藏胡萝卜15个,小白兔原来储藏胡萝卜45个。

  小注:这是变①与②的综合,也是差倍问题的第三种变形,如果同学们能真正掌握这三种类型的题,那么在考试中,无论出现哪类差倍问题的题型,你们都能应对自如的。

  由此,我们可以了解到,竞赛题对于我们来说并不是遥不可及的,他只是由我们学过的一些基本类型的题组成的,所以只要我们平时抓住基础,注意积累,一定能在竞赛中取得好成绩。