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名师讲解:如何突破希望杯中的计算问题

来源:温州奥数网整理 2011-07-26 23:23:48

  一年一度的全国“希望杯”数学竞赛,对于我们所有的学生和家长来说一直都具有不可抵挡的魅力。“希望杯”全国数学邀请赛自1990年举办以来,至今已经 17届了。从第l届就有11万名中学生参加,到了第9届,每年的参赛人数都已经超过百万。17届以来,参赛中学生累计超过1200万。国内中学生学科竞赛活动,有如此大的规模,有如此众多的中学生参加,除"希望杯"之外,还没有第二个。

  中学生为什么喜欢参加“希望杯”?这有两个重要的原因。其一就是“希望杯”的题目出得好,将现在数学课堂上的内容和课本以外的数学知识进行了充分的结合,出得漂亮,学生有较大的思维空间。同学们正是通过做这些题,学习它们、研究它们,从而更扎实、更开阔地掌握了知识,增长了智慧和才干,使学习更有信心,成绩更出色。另一个重要的原因就是“希望杯”试题在难度上,与北京很多名校考试的附加题以及中考压轴题的难度相当。并且北京各重点高中在签约和提前录取中都会参考竞赛获奖成绩。去年人大附中的学生登记表中就把“竞赛获奖”作为重要的参考内容。因此,“希望杯”的试题资源也成为众多名校考试附加题和中考试题的一个主要来源。

  下面我就近几年“希望杯”的部分考点谈谈自己的看法。

  一、计算问题

  同学们可能会说,计算有什么问题可说的,不就是按照四则运算规律一步一步的算下去得到正确结果就可以了。其实不然,好的计算习惯,方法,技巧对于我们的解题会有事半功倍的效果。咱们知道不管是中考还是将来的高考考的都是我们的综合素养和综合能力,而这其中的计算问题就是关键中的关键。为什么这么说呢?我们知道中考或是高考都要求在规定的2个小时的时间内完成答卷。也就是说我们要将几年内所学的知识进行筛选,归类,整合用最短的时间将客观题(即选择题和填空题)做完,然后才能有充裕的时间去完成主观题。否则很难在规定的时间内做完所有的考题,更不用说得高分了。因此,要求我们学生在平时一定要注意口算,心算和笔算的锻炼和积累。更重要的是要对一些计算的方法和技巧进行归纳和总结。这样才能在考试中从容自如,立于不败之地。如第十七届“希望杯”第2 试中的第11题:

  这个计算题看似简单,如果我们按照常规的思维来进行计算至少需要七,八分钟的时间,而且是对于计算能力特别强的同学来说的。我们姑且不论算得正确与否,就是这样算下去后面的题肯定是没时间做了。那么这题应该怎样计算才能更快更准确的得出答案呢?我们看题会发现一些规律奇数项的整数部分是 1,3,5,7,9。而分数的分子都是1,分母是2,12,30,56,90。且可以把2写成 2=1×2,12=3×4,30=5×6,56=7×8,90=9×10。偶数项的分子都比分母少一,因而我们可以把它们全部改写成1/6-3,1 /20-5,1/42-7,

  1/72-9。这样不仅可以将整数部分抵消一部分同时也可以将6分成2×3,20=4×5,42=6×7,72=8×9。与奇数项结合起来问题就简单的多了。

  总结:本题其实用到了我们小学奥数思维中的“裂项求和”的方法。这种方法使用的关键是在我们要能够观察出分母的特点。如我们常见的形式1/n×(n+1) ,1/(2n+1) ×(2n-1)等等都可以使用这种方法。再看第15题

  先看分母是1到2006的所有正整数的和。这我们可以利用“高斯求和”的方法: (1+2006)×2006÷2=2007×1003.而分母可以先直接算出差,这时会发现前面分数的分子可以与后面分数的分母正好约掉:

  1003/1004×1004/1005×1005/1006×1006/1007…2004/2005×2005/2006,很快就可以得出分母的结果是1003/2006.再用分子2007×1003除以分母1003/2006就可以得到最终结果。

  关于计算的技巧和方法还有很多这里我就不在多说了,希望同学们在今后的学习中注意总结和归纳,以便在计算中能够灵活运用。

  二、面积计算问题

  对于求图形的面积我们在小学阶段老师可能讲了很多,但是由于大部分同学没有很好进行总结和归纳,因而在遇到此类问题时还是无计可施。

  如第十七届“希望杯”第9题

  9.如图4,ABCD与BEFG是并列放在一起的两个正方形。O是BF与EG的交点。如果正方形ABCD的面积是9平方厘米, 厘米,则三角形DEO的面积是( )

  (A)6.25平方厘米 (B)5.75平方厘米 (C)4.50平方厘米 (D)3.75平方厘米

  在讲此题之前我们先看下面的面积模型:

  如下图,当我们连接DF时,会发现△AEF和△DEF的高相同,所以SAEF/SDEF=AE/DE. 同理可得S△AEB/S△DEB=AE /DE。故S△AEF/S△DEF=S△AEB/S△DEB。变形得: S△AEF× S△DEB = S△DEF×S△AEB. 根据这个条件我们可以得到, 只要知道其中的三个面积就可以求出另外的一个三角行的面积. 当然此题中的F点要是再向C点移动时,我们会看到一种特殊的位置, 那就是 DF//AB. 即这时四边行ABDF就是梯形。我们看到△ADF和△BDF是等底等高的三角行,则SAEF= SDEB。于是上面的关系式就变为: SAEF的平方= SDEB的平方= SDEF×SAEB。只要是关于四边行面积的问题我们都可以用这个结论来解决。

  现在我们再回头看看上面的第9题. 由图可知,要求的是三角行的面积,如果直接求是不可能的。那么我们可以利用刚讲的模型。首先是要建立四边形,在图中的四边形有很多,但我们要用与三角行DOE有关的。我们发现只要将正方形ABCD的对角线BD连接起来就可以和正方形BEFG的对角线GE平行。于是S△DOE= S△BOE。这样问题就转化为求△BOE的面积即选A。

  同样对第十七届“希望杯’’ 第2试的第22题也是应用此模型解答。

  如图4所示,三角形ABC的面积为1,E是AC的中点,O是BE的中点。连结AO,并延长交BC于D,连结CO并延长交AB于F。求四边形BDOF的面积。

  关于应用此模型来解题的还有第十四届“希望杯”第一试,第25题和第十五届“希望杯”选择题第7题等。有关更多的解题方法这里就不在赘述。希望通过此几例对广大的同学有旁征博引的启迪。

  综上所述,我们足以见得“希望杯”如同一把金钥匙,对每个参赛的中学生,它既开启了智慧之门,更开启了信心之门。这正是"希望杯"的魅力所在。